Ahora que la sabes, ¿podrías demostrarla?

Vamos a ello.

Consideremos el trapecio formado por los radios a y b:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo superior se tiene:

\[(a+b)^2=(a-b)^2+z^2\]

Despejando:

\[z=2\sqrt{ab}\]

Haciendo los mismo con el trapecio fomado por los radios a y c

se tiene:

\[(a+c)^2=(a-c)^2+x^2\rightarrow x=2\sqrt{ac}\]

Repitiendo finalmente el proceso con el trqpecio formado por los radios b y c:

se tiene:

\[(b+c)^2=(b-c)^2+y^2\rightarrow y=2\sqrt{bc}\]

Como \(z=x+y\),

\[2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}\]

Dividiendo por \(2\sqrt{abc}\) queda

\[\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\]

expresión de por sí intersante, pero que puede serlo más aún si la ponemos en notación potencial:

\[c^{-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\]

O si, en vez de utilizar radios, utilizamos sus inversas, es decir, las curvaturas:

\[\sqrt{k_c}=\sqrt{k_a}+\sqrt{k_b}\]

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