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Pista : la relación es \(\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
Ahora que la sabes, ¿podrías demostrarla?
Vamos a ello.
Consideremos el trapecio formado por los radios a y b:
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo superior se tiene:
\[(a+b)^2=(a-b)^2+z^2\]
Despejando:
\[z=2\sqrt{ab}\]
Haciendo los mismo con el trapecio fomado por los radios a y c
se tiene:
\[(a+c)^2=(a-c)^2+x^2\rightarrow x=2\sqrt{ac}\]
Repitiendo finalmente el proceso con el trqpecio formado por los radios b y c:
se tiene:
\[(b+c)^2=(b-c)^2+y^2\rightarrow y=2\sqrt{bc}\]
Como \(z=x+y\),
\[2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}\]
Dividiendo por \(2\sqrt{abc}\) queda
\[\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\]
expresión de por sí intersante, pero que puede serlo más aún si la ponemos en notación potencial:
\[c^{-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\]
O si, en vez de utilizar radios, utilizamos sus inversas, es decir, las curvaturas:
\[\sqrt{k_c}=\sqrt{k_a}+\sqrt{k_b}\]
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