Potencias y raíces complejas
Sea \(z=1+i\), y sea \(u=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
a) Demuestra que \(z,\ zu\ y\ zu^2\) son raíces cúbicas de un mismo número complejo.
b) Demuestra que lo mismo ocurre para cualquier número complejo z.
c) ¿Qué tiene de especial u?
SOLUCIÓN
1. Sea \(z=1+i\), y sea \(u=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
a) Demuestra que \(z,\ zu\ y\ zu^2\) son raíces cúbicas de un mismo número complejo.
b) Demuestra que lo mismo ocurre para cualquier número complejo z.
c) ¿Qué tiene de especial u?
a)
1) Se pasan z y u a forma polar.
\(u=1_{120º}\text{ }z=\sqrt{2}_{45º}\)
2) Se calcula \(zu\ y\ zu^2\).
\(zu=\sqrt{2}_{45º}·1_{120º}=\sqrt{2}_{45º+120º}\)
\(zu^2=\sqrt{2}_{45º}·(1_{120º})^2=(\sqrt{2})_{45º+240º}\)
3) Se elevan al cubo \(z,\ zu\ y\ zu^2\).
\(z^3=(\sqrt{2})^3_{135º}\\(zu)^3=(\sqrt{2})^3_{135º+360º}=(\sqrt{2})^3_{135º}\\(zu^2)^3=(\sqrt{2})^3_{135º+720º}=(\sqrt{2})^3_{135º}\)
b)
Se hace lo mismo que antes, pero para un z general.
1) Se pasan z y u a forma polar.
\(u=1_{120º}\text{ }z=r_{\alpha}\)
2) Se calcula \(zu\ y\ zu^2\).
\(zu=r_{\alpha}·1_{120º}=r_{\alpha+120º}\)
\(zu^2=r_{\alpha}·(1_{120º})^2=r_{\alpha+240º}\)
3) Se elevan al cubo \(z,\ zu\ y\ zu^2\).
\(z^3=r^3_{3\alpha}\\(zu)^3=r^3_{3\alpha+360º}=r^3_{3\alpha}\\(zu^2)^3=r^3_{3\alpha+720º}=r^3_{3\alpha}\)
Al ser los tres resultados iguales hemos demostrado que \(z,\ zu\ y\ zu^2\) son raíces cúbicas de \(r^3_{3\alpha}\)
c)
Si un complejo z lo multiplicamos por otro complejo de modulo M y argumento A, lo que hacemos es multipicar el módulo de z por M y sumarle A al argumento de z. Resulta que el complejo u tiene módulo 1 y argumento 120º. Por tanto, si multiplicamos un complejo z cualquiera por u, dejaremos igual su modulo y solo cambiaremos su argumento. Lo que estamos haciendo entonces es girar z 120º respecto del origen. Si volvemos a multiplicar por u lo giraremos otros 120º, obteniendo los tres vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen. Estos tres puntos representan las tres raíces de un complejo. ¿Cuál? Pues \(z^3\).
En el siguiente gráfico, mueve los deslizadores para hallar \(zu\) y \(zu^2\). Puedes mover z para ver cómo se distribuyen los tres puntos en el plano complejo:
Página Geogebra
Pregunta: ¿por qué complejo v habría que multiplicar z para obtener las raíces cuartas de un número complejo?
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