Una demostración

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que \(\dfrac{a}{b}=\sqrt{2}\).

Entonces:

\(\dfrac{a^2}{b^2}=2\Rightarrow a^2=2b^2\)

De la última igualdad se deduce que a² es par, por lo que a debe ser par (2 es un factor de a² y, por tanto, también de a).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a² = (2r)² = 4r² = 2b²

Simplificando: 2r² = b²

De la última igualdad se deduce que b² es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues a y b se suponen primos entre sí.

Por tanto, la suposición original es falsa y \(\sqrt{2}\) es irracional.

Otra demostración aún mejor...

Empezamos como antes, suponiendo que \(\sqrt{2}\) es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a² = 2b².

Si descomponemos a² en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b². Sin embargo, en la expresión 2b² hay un 2 desparejado. Contradicción.

Nota: observese que esta demostración es aplicable a cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto, de modo que sirve para demostrar que toda raíz cuadrada de un número natural o es entera o es irracional.