CÁLCULO DEL INTERVALO DE CONFIANZA

Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kg. Se toma una muestra aleatoria de 100 sandías y se observa que el peso medio es de 6 kg. Calcúlese un intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de esa variedad de sandía.

Madrid, junio 2001

Solución

Calculamos el valor crítico (> El porqué del valor crítico):

\(1-\alpha=0,95 \rightarrow \alpha=1-0,95=0,05\)

\(\dfrac{\alpha}{2}=0,025\)

\(1-\dfrac{\alpha}{2}=0,975\)

Buscamos \(z_{0,025} / P\left(Z < z_{0,025}\right)=0,975\)

Buscando en la tabla de la normal vemos que \(P\left(Z < 1,96\right)=0,975\)

Luego \(z_{0,025}=1,96\)

El intervalo de confianza viene dado por la fórmula \[\left(\overline x -z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline x +z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

Sustituyendo: \[IC=\left(6-1,96\dfrac{1}{\sqrt{100}},6+1,96\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right)=(5,804, 6,196)\]

***

CÁLCULO DE LA MEDIA MUESTRAL, EL TAMAÑO DE LA MUESTRA Y EL ERROR MÁXIMO

El precio (en euros) del metro cuadrado de las viviendas de un determinado municipio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica \(\sigma\)= 650€\).

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza (2265,375; 2424,625) para \(\mu\), con un nivel de confianza del 95 %. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.

b) Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño 225. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de \(mu\) por la media muestral con un nivel de confianza del 99 %.

Madrid, modelo 2016

Solución

a) \(\sigma= 650€\\IC=(2265,375; 2424,625)\\1-\alpha=0,95\)

La media muestral es el radio del IC: \(\overline{x}=\dfrac{2265,375+2424,625}{2}=2345\)

Calculamos el tamaño de la muestra:

Como \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) , despejando: \(n=\left( \dfrac{z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma}{E} \right)^2\)

El IC es \((\overline{x}-E,\overline{x}+E)\). Por tanto:

\(\overline{x}+E=2424,625\)

\(\overline{x}-E=2265,375\)

Restando: \(2E=159,25\), por lo que \(E=79,625\)

Como \(1-\alpha=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0,025 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0,975\)

De la tabla de la normal obtenemos que \(z_{0,05}=1,96\)

Sustituyendo en \(n=\left( \dfrac{z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma}{E} \right)^2\) tenemos \(n=\left( \dfrac{1,96·650}{79,625} \right)^2=256\)

b) \(\sigma= 650€\\n=225\\1-\alpha=0,99\)

Sabemos que \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Como \(1-\alpha=0,99 \Rightarrow \alpha=0,01 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0,005 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0,995\)

De la tabla de la normal obtenemos que \(z_{0,005}=2,575\)

Sustituyendo en \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), tenemos que \(E=2,575 \dfrac{650}{\sqrt{225}}=111,58\)