Un poco de relatividad

1. Introducción

Para Newton el espacio es absoluto, idea que la geometría analítica de Descartes potencia: cada punto del espacio tiene sus coordenadas y un objeto moviéndose en el espacio recorre una serie de esos puntos perfectamente definidos por sus coordenadas. Sin embargo, estas coordenadas dependen del sistema de referencia y cuando el sistema de referencia del observador se mueve respecto del objeto observado ocurren cosas sorprendentes.

En lo que sigue vamos a hacer un par de experimentos mentales para hacernos una idea de la relatividad del tiempo y del espacio. Después haremos un pequeño cálculo para ver que el tiempo se contrae. Finalmente, visualizaremos esta contracción temporal.

2. La pelota y el tren

Estamos sentados en un andén de la estación. En frente vemos un bonito vagón de tren de paredes transparentes. Está parado y vemos que en su interior un viajero suelta una pelota. La pelota, al caer, llega al suelo del vagón y rebota. La trayectoria, tanto de bajada como de subida, es recta.

Ahora el tren se ha puesto en marcha y se mueve en línea recta y a velocidad constante. Vemos desde el andén que el viajero vuelve a soltar una pelota. Esta, al caer, sigue una trayectoria en forma de rama parabólica que al rebotar se repite simétricamente. Es interesante obervar que la pelota mantiene siempre la misma vertical respecto del vagón.

La siguiente construcción muestra el porqué de esta trayectoria. El botón Mover hace avanzar la pelota a saltos. La pelota cae en vertical respecto del tren, pero el tren se mueve, por lo que el observador exterior ve simultáneamente dos movimientos en la pelota: el vertical, como consecuencia de la gravedad, y el horizontal, producto del avance del tren. El que la trayectoria sea parabólica se debe a que la gravedad produce un movimiento acelerado en la pelota, por lo que esta desciende cada vez más deprisa.

Puede parecer lógico que las dos trayectorias de la pelota sean distintas, dado que en un caso el tren está en reposo y en el otro en movimiento. Sin embargo, desde el punto de vista del viajero que, dentro del vagón transparente, suelta la pelota, esta cae en vertical. Esto es fácil de comprobar yendo en el metro, en un coche, en un avion: si la velocidad es rectilínea y sin aceleraciones, la pelota, al soltarla, caerá en vertical y rebotará de la misma manera.

Podemos pensar el experimento de otra manera: en vez de observar nosotros lo que ocurre desde el andén, podemos hacerlo desde otro tren que discurre en paralelo con el tren transparente. ¿Cambia algo? En absoluto: si los dos trenes van a la misma velocidad, tanto nosotros como el que suelta la pelota observaremos la misma trayectoria recta. Sin embargo, si nos movemos con distintas velocidades, mientras que el del tren transparente seguirá viendo su pelota caer y rebotar en vertical, nosotros la veremos trazando una bonita rama parabólica.

¿Cuál es entonces la trayectoria real? Ambas lo son. El espacio no es un teatrillo con cada uno de sus puntos perfectamente etiquetado, sino la relación entre cuerpos en movimiento.

3. El pulso de luz y la nave espacial

Ahora el andén en el que nos encontramos es un andén espacial situado en un estación de paso interestelar. Aquí la gravedad es prácticamente cero (¿existe algún lugar del cosmos donde la gravedad sea nula?). En frente vemos una nave espacial transparente en cuyo interior han montado un reloj de luz, consistente en un emisor/detector de pulsos de luz situado en el techo y un espejo en el suelo. Cuando se emite un pulso de luz, este viaja hasta el espejo, se refleja, vuelve hacia el techo y es captado por el detector que así nos puede decir el tiempo transcurrido desde la emisión.

La nave transparente está parada cuando alguien decide emitir un pulso de luz. Este viaja hasta el espejo y se refleja hacia arriba. La trayectoria, tanto de bajada como de subida, es recta.

Ahora la nave se ha puesto en movimiento. Vemos que sigue una trayectoria rectilinea y con velocidad constante. El pulso de luz emitido sigue también una trayectoria rectilínea, aunque oblicua. Al reflejarse en el espejo, repite la trayectoria de modo simétrico. Es interesante observar que el pulso de luz mantiene siempre la misma vertical respecto del vagón.

Como en el caso de la pelota, podemos preguntarnos cuál es la trayectoria real, si la vertical o la oblicua y la respuesta es la misma: ambas son igual de reales. El espacio es relativo.

Si aun no lo ves, imagina dos naves espaciales que se cruzan en el espacio intergaláctico. Allí no hay puntos de referencia privilegiados que nos permitan decir quién se mueve y quién no. Cuando estamos sentados en el andén de la estación terrestre consideramos como sistema de referencia nuestra posición sobre la Tierra. Pero en el espacio no tenemos esa posibilidad. De echo, no podemos decir que sea una nave o la otra la que se mueve. Tan solo podemos medir la velocidad relativa, es decir, a la que se mueve una respecto de la otra.

5. Un poco de historia: el factor de contracción de Lorentz

El principio de relatividad de Galileo dice que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (para entendernos, aquellos que se desplazan sin aceleración, es decir, sin cambios ni en la rapidez ni en la dirección ni en el sentido). Un ejemplo lo tenemos en el caso de los trenes: no importa lo rápido que vaya el tren, siempre que la velocidad sea constante, la pelota caerá en vertical. Galileo lo escenificó situándonos en un barco en la que se vaciaba una botella gota a gota en un recipiente. Con independiencia de la velocidad del barco (siempre que sea constante) las gotas caerán en el recipiente y no se desplazarán hacia la popa.

En 1887, Michelson y Morley hicieron un experimento para medir el movimiento de la Tierra respecto de una hipotética sustancia, el éter, que se suponía la portadora de la luz. Midieron con gran precisión la velocidad de la luz en el sentido de avance de la Tierra alrededor del Sol y a la vez la velocidad de la luz en una dirección perpendicular. El resultado fue sorprendente: los valores obtenidos en ambas mediciones coincidieron exactamente, lo cual es antiintuitivo, pues la velocidad en el sentido de avance debería ser mayor que en la dirección perpendicular al cumularse en el primer caso la velocidad propia de la luz con la de traslación terrestre.

Ante un experimento fracasado, podemos adoptar dos posiciones: llorar desconsoladamente o, por el contrario, darlo por bueno y ver cómo explicar el resultado inesperado.

Esto último es lo que hizo Einstein: partiendo del principio de relatividad de Galileoy teniendo en cuenta el experimento de Michelson y Morley, postuló que la velocidad de la luz en el vacío es una ley física y que, por tanto, debe ser la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Las consecuencias de esta hipótesis en la ciencia son inmensas. Vamos a ver aquí solo una de ellas: la contracción del tiempo.

Volvamos a la nave espacial transparente. La figura siguiente muestra la trayectoria del pulso de luz visto por un observador que viaja en dicha nave. Desde el emisor/detector A se emite un pulso de luz que llega al espejo B, se refleja y regresa a A.

Si llamamos c a la velocidad de la luz, d a la distancia de A a B y \(t_1\) al tiempo que tarda la luz en ir de A a B y volver, teniendo en cuenta que \(v=\dfrac{e}{t}\), sustituyendo tenemos

\[c=\dfrac{2d}{t_1} \Rightarrow d=c·\dfrac{t_1}{2}\]

Ahora observamos desde fuera el pulso de luz de la nave transparente, que se mueve respecto del andén donde nos encontramos a una velocidad v. Si desde A se emite un pulso de luz, este irá hacia el espejo, pero como la nave se mueve, veremos como se dirige en trayectoria oblicua hasta B, que es donde se encuentra ahora el espejo. Al reflejarse, el pulso de luz volverá a la nueva posición del emisor/detector, que ahora se encuentra en C.

Si la velocidad de la luz sigue siendo c, d la distancia de A a O (la distancia entre el emisor y el espejo en reposo); \(t_2\) al tiempo que tarda la luz en ir de A a B y de B a C; y v la velocidad de una nave respecto de la otra, tenemos:

\[\text{distancia (O, B)} =v·\dfrac{t_2}{2}\]

\[\text{distancia (A, B)} =c·\dfrac{t_2}{2}\]

Como

\[\text{distancia (A, O)} =d\]

por el teorema de Pitágoras tenemos:

Como

\[d=c·\dfrac{t_1}{2}\]

sustituyendo

\[\left(c·\dfrac{t_2}{2}\right)^2=\left(c·\dfrac{t_1}{2}\right)^2+\left(v·\dfrac{t_2}{2}\right)^2\]

Haciendo cuentas:

\[{t_2}^2(c^2-v^2)=c^2{t_1}^2\]

\[{t_2}^2(1-\dfrac{v^2}{c^2})={t_1}^2\]

\[t_2=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}t_1\]

Al factor que relaciona los dos tiempos,

\[\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\]

se le llama factor de contracción de Lorentz, por ser Hendrik Lorentz quien lo obtuvo para explicar los resultados del experimento de Michelson y Morley.

Este factor siempre es mayor que uno (el denominador siempre es menor que uno), lo que nos dice que el tiempo \(t_2\) medido desde el observador externo, es mayor que el tiempo \(t_1\) medido en el interior de la nave con el reloj de luz. De otra manera: cuando vemos un reloj en movimiento, este va más lento que uno que está en reposo a nuestra vera. Hay que señalar que este fenómeno es simétrico: si un observador de la nave transparente observara un reloj en nuestro andén, vería que el nuestro va más lento que el suyo.

Si estudiamos la formulación del factor, este nos dice otra cosa igualmente asombrosa: v nunca puede ser mayor que c (de serlo tendríamos la raíz cuadrada de un número negativo), es decir, nada puede superar la velocidad de la luz.

6. Dos relojes

La contracción del tiempo no es algo que se pueda observar a simple vista. Para que se haga evidente hace falta que el sistema observado se mueva respecto del observador a velocidades comparables a la velocidad de la luz.

La siguiente construcción muestra dos relojes. El de la izquierda es un reloj situado en el andén, estático respecto del observador, mientras que el de la derecha es un reloj situado en la nave transparente, aunque visto igualmente por el obsevador del andén.

Un deslizador permite elegir la velocidad, que se indica como un porcentaje respecto de la velocidad de la luz. Bajo los relojes, dos números indican las unidades de tiempo transcurridas. Da igual que las leamos como segundos o como siglos: la proporción es la misma.

Algo a observar: para velocidades pequeñas, la diferencia entre los tiempos medidos en el reloj del observador y en el reloj del vagón transparente es inapreciable. Pero a medida que la velocidad aumenta, la diferencia crece rápidamente.

Algunos casos sobresalientes:

• Velocidad = 0%. Los dos relojes van a la par.
• Velocidad = 99%. Si en el reloj del observador han pasado 21 años, en el reloj local han pasado tan solo 3 años.
• Velocidad = 100%. El reloj de la derecha se para. No es un error: a la velocidad de la luz el tiempo no pasa. Esto implica que para un fotón, la partícula portadora de la luz, el tiempo no existe.