Momento angular o cinético

1. Movimiento circular uniforme

Supongamos que estamos en una nave espacial con los motores apagados en medio del espacio intergaláctico. Una masa está unida a un eje con un cordel perpendicular a dicho eje. Le damos un empujón a la masa en una dirección perpendicular al plano formado por el cordel y el eje. La masa empezará a girar (cliquear en el botón Animar de la siguiente imagen para ver lo que ocurre).

Si ahora acortas la longitud del cordel con el deslizador r, verás que la velocidad aumenta. Esto es algo que hemos visto hacer a los patinadores: en sus ejercicios extienden los brazos cuando quieren disminuir su velocidad de giro y los pegan al cuerpo cuando quieren aumentarla.

Como ocurre con el momento lineal, el momento angular también se conserva. Esta es la razón por la que velocidad y radio son inversamente proporcionales. Veámoslo:

El momento angular \((\vec{L})\) se puede expresar como el producto vectorial del radio de giro por la cantidad de movimiento: \[\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\]

Como \[\vec{p}=m \vec{v}\] tenemos:

\[\vec{L}=\vec{r} \times m\vec{v}\]

El módulo de \(\vec{L}\) es, por tanto:

\[|\vec{L}|=|\vec{r}| m |\vec{v}| sen\theta\]

donde \(\theta\) es el ángulo formado por el radio y la velocidad.

Como \(\vec{L}\) se conserva, en concreto se conserva su módulo. Si mantenemos el eje de giro y la masa permanece constante, la expresión anterior dice que los módulos del radio y la velocidad son inversamente proporcionales, es decir, que al aumentar una disminuye la otra, como hemos visto en la gráfica.

2. Visualización

Aunque el asunto está claro, se me ocurrió que podría visualizarse el fenómeno de otra manera: en vez de modificar el radio y ver qué ocurre, pensé en mostrar varios movimientos circulares con el mismo momento angular, pero con radios de giro distintos. Esto implicaría, como hemos visto, distintas velocidades.

La primera idea que se me ocurrió fue hacer de los radios de giro una progresión aritmética.

El resultado fue el siguiente. Es verdad que se ve que a mayor radio, menor velocidad, pero el conjunto no dice demasiado: resulta bastante caótico.

3. Periodicidad

Ante el fracaso, pienso en imponerle alguna condición más fuerte a los radios. Por ejemplo, que sean de tal forma que, pasado cierto tiempo \(t_0\), todas las masas vuelvan a coincidir angularmente.

Esto me llevó a la siguiente relación entre dos radios consecutivos (luego lo explico):

\[r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_{n-1 }^{2}}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}}}\]

Con esta relación de recurrencia, dado un radio inicial arbitrario \(r_0\) se pueden calcular los radios siguientes. Lo puse en Geogebra y...

Como la imagen puede girarse arrastrandola con el botón izquierdo del ratón, os aconsejo que la miréis también desde arriba del eje de giro.

Dos casillas de control permiten mostrar la superficie de revolución en la que se mueven las masas así como la curva que forman dichas masas cuando t = 0.

4. Las matemáticas del asunto

4.1 Movimiento circular uniforme

Si pensamos en masas puntuales y nos fijamos solo en el aspecto escalar del momento angular, tenemos que

\[L=I\omega\]

donde I es el momento de inercia y \(\omega\) la velocidad angular.

Como

\[I=mr^2\]

sustituyendo, tenemos:

\[L=mr^2\omega\]

De aquí, dados L, r y m, podemos calcular la velocidad angular con la expresión:

\[\omega=\dfrac{L}{mr^2}\]

Teniendo la distancia al eje de giro, r, y la velocidad angular, \(\omega\), las ecuaciones del movimiento circular son:

\[\left\{\begin{array}{l} x=rcos(\omega t)\\y=rsen(\omega t) \end{array}\right.\]

4.2 Periodicidad

Hemos visto que

\[\omega=\dfrac{L}{mr^2}\]

Como el movimiento es uniforme, podemos considerar que

\[\omega = \dfrac{\theta}{t}\]

Despejando y combinando ambas expresiones se tiene:

\[\theta=\dfrac{Lt}{mr^2}\]

La idea es calcular los radios de modo que, pasado cierto tiempo \(t_0\), las masas vuelvan a coincidir angularmente, es decir, que si \(r_{n-1}\ y\ r_n\) son dos radios consecutivos, se cumpla que

\[\dfrac{Lt_0}{mr_n^2}=\dfrac{Lt_0}{mr_{n-1}^2}+2\pi\]

Despejando:

\[r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_{n-1}^2}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}}}\]

Como supongo que os pasará a vosotros, es ver una fórmula de recurrencia y sentir unos deseos irrefrenables de calcular el término general.

En la expresiòn anterior, basta elevar al cuadrado e invertir para obtener

\[\dfrac{1}{r_n^2}=\dfrac{1}{r_{n-1}^2}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}\]

lo cual es la expresión de una progresión aritmética para \(\dfrac{1}{r_n^2}\), por lo que su término general es:

\[\dfrac{1}{r_n^2}=\dfrac{1}{r_0^2}+n\dfrac{2\pi m}{Lt_0}\]

Despejando:

\[r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_0^2}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}n}}\]

4.3 La curva y la superficie

La curva que contiene a todas las masas en el tiempo \(t_0\) resulta de convertir el término general

\[r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_0^2}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}n}}\]

en la función

\[f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_0^2}+\dfrac{2\pi m}{Lt_0}x}}\]

La superficie es la superficie de revolución asociada a la curva.

4.4 Sin física

La expresión anterior resulta amenazante, pero, si tenemos en cuenta que casi todo son constantes, podemos elegirlas para simplificarla.

Haciendo \(Lt_0=1\), \(r_0=1\) y \(m=\dfrac{1}{2\pi}\) queda:

\[r_n=\sqrt{\dfrac{1}{1+n}}\]

Se puede comprobar que cumple la relación

\[\dfrac{1}{r_n^2}=\dfrac{1}{r_{n-1}^2}+1\]

que es, efectivamente, una progresión aritmética para la inversa del cuadrado.