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Fragmentos

Collar de cuentas y muelles



El objetivo

Trabajando en la catenaria, pienso en un modelo físico para ella que pueda simular. Uno que parece obvio es una ristra de bolas unidas por muelles sujeta a dos extremos fijos. El siguiente fragmento consiste en simular su comportamiento bajo gravedad.

Las ecuaciones

Los parámetros que debemos tener en cuenta son:

  • g = la aceleración de la gravedad.
  • L = la longitud de los muelles cuando no experimentan ninguna fuerza.
  • k = la constante elástica del muelle.
  • m = la masa de las bolas (la de los muelles la vamos a considerar despreciable).

Sabemos, es la ley de Hooke, que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional a la fuerza que se le aplique y, por tanto, a la que ejerce. Es decir:

\[f=k·(x-L)\]

siendo x la longitud actual del muelle.

Por otro lado, para distancias cortas podemos considerar la aceleración de la gravedad constante, por lo que la fuerza ejercida por esta sobre las bolas será:

\[f=g·m\]

Cada bola (vamos a considerarlas puntuales) de la ristra está sometida a tres fuerzas: la de la gravedad y las dos ejercidas por los muelles que la unen a las dos bolas vecinas. Estas dos últimas las podemos expresar de la siguiente manera:

\[f_{i-1}=k(d_{i-1} - L)u_{i-1}\]

donde \(u_{i-1}\) es el vector unitario que tiene el sentido de \(B_{i-1}\) a \(B_i \) y \(d_{i-1}\) el módulo de dicho vector, es decir, la distancia entre las masas puntuales \(B_{i-1}\) y \(B_i \).

De la misma manera:

\[f_{i+1}=k(d_{i+1} - L)u_{i+1}\]

La fuerza resultante en cada bola es entonces:

\[f(x)=k(d_{i-1} - L)u_{i-1}+k(d_{i+1} - L)u_{i+1}+mg\]

Teniendo una expresión de la fuerza ya podemos darle movimiento al conjunto.

Si consideramos que cada bola está descrita en un instante determinado por una posición \(e_0\) y una velocidad \(v_0\), una fracción de tiempo h más tarde, tendremos

\[v_h=v_0+\dfrac{f}{m}·h\]

\[e_h=e_0+v_h·h\]

Estas dos ecuaciones son las que se implementan en la siguiente construcción.

La construcción

Podemos interacturar con el gráfico de las siguientes maneras:

  • Inicializar: sitúa muelles y bolas en línea.
  • Animar/Parar: deja que el tiempo pase. O no.
  • Mostrar/ocultar ejes: para orientarnos en el espacio.
  • L: longitud de los muelles.
  • g: aceleración de la gravedad.
  • k: constante elástica de los muelles.
  • m: masa de las bolas.
  • Tanto las bolas como los muelles (puntos y segmentos) pueden arrastrarse con el ratón.

Sugerencia

En principio, bajo el único efecto de la gravedad y sus propias tensiones, las bolas y los muelles permaneceran en un mismo plano. Pero si perturbamos una bola o un muelle fuera del plano definido por los dos puntos de sujeción y la gravedad, la cosa cambia. Pruébalo.

Ejercicios

  1. Un buen ejercicio sería enumerar las simplificaciones que hemos asumido en el modelo.
  2. Otro, explicar de dónde salen las dos ecuaciones utilizadas en la construcción.
  3. También puedes hacer una versión 3D de modo que no sea una ristra sino una malla de bolas. (Solución)

Cuestión

¿Es este un buen modelo de la catenaria?


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