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El objetivoTrabajando en la catenaria, pienso en un modelo físico para ella que pueda simular. Uno que parece obvio es una ristra de bolas unidas por muelles sujeta a dos extremos fijos. El siguiente fragmento consiste en simular su comportamiento bajo gravedad. Las ecuacionesLos parámetros que debemos tener en cuenta son:
Sabemos, es la ley de Hooke, que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional a la fuerza que se le aplique y, por tanto, a la que ejerce. Es decir: \[f=k·(x-L)\] siendo x la longitud actual del muelle. Por otro lado, para distancias cortas podemos considerar la aceleración de la gravedad constante, por lo que la fuerza ejercida por esta sobre las bolas será: \[f=g·m\] Cada bola (vamos a considerarlas puntuales) de la ristra está sometida a tres fuerzas: la de la gravedad y las dos ejercidas por los muelles que la unen a las dos bolas vecinas. Estas dos últimas las podemos expresar de la siguiente manera: \[f_{i-1}=k(d_{i-1} - L)u_{i-1}\] donde \(u_{i-1}\) es el vector unitario que tiene el sentido de \(B_{i-1}\) a \(B_i \) y \(d_{i-1}\) el módulo de dicho vector, es decir, la distancia entre las masas puntuales \(B_{i-1}\) y \(B_i \). De la misma manera: \[f_{i+1}=k(d_{i+1} - L)u_{i+1}\] La fuerza resultante en cada bola es entonces: \[f(x)=k(d_{i-1} - L)u_{i-1}+k(d_{i+1} - L)u_{i+1}+mg\] Teniendo una expresión de la fuerza ya podemos darle movimiento al conjunto. Si consideramos que cada bola está descrita en un instante determinado por una posición \(e_0\) y una velocidad \(v_0\), una fracción de tiempo h más tarde, tendremos \[v_h=v_0+\dfrac{f}{m}·h\] \[e_h=e_0+v_h·h\] Estas dos ecuaciones son las que se implementan en la siguiente construcción. La construcciónPodemos interacturar con el gráfico de las siguientes maneras:
SugerenciaEn principio, bajo el único efecto de la gravedad y sus propias tensiones, las bolas y los muelles permaneceran en un mismo plano. Pero si perturbamos una bola o un muelle fuera del plano definido por los dos puntos de sujeción y la gravedad, la cosa cambia. Pruébalo. Ejercicios
Cuestión¿Es este un buen modelo de la catenaria? |
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