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La unidad imaginaria elevada a la unidad imaginaria

Lo que más llama la atención de esta fórmula es lo aparentemente heterogéneo de sus dos miembros, pues mientras que en el izquierdo solo aparecen unidades imaginarias, en el derecho tan solo aparecen números reales.

La sorpresa que ofrece la igualdad es, precisamente, que el número i, cuando es elevado a sí mismo, dé como resultado un número real. Que dicho número esté expresado en función de el número e y el número π ya es puro alarde.

Euler obtuvo esta fórmula como consecuencia de su cálculo del logaritmo de un número complejo más o menos así: como la unidad imaginaria tiene módulo r = 1 y argumento θ = π/2, tomando logaritmos se tiene:

\(lni=i· \bigl(\frac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)\)    [1]

Como la exponencial y el logaritmo son funciones inversas la una de la otra, escribimos:

\(i^i=e^{ln(i^i)}=e^{i·lni}\)

Por [1]

\(i^i=e^{i·i·\bigl(\frac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)}=e^{-\bigl(\frac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)}\)

Lo cual, en el caso \(k=0\), da:

\(i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}\)

 

 

Fórmula de Euler

 
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