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Trazado de cisoides

Una de las formas de definir una cisoide es la siguiente: "dadas dos curvas en polares \(\rho_1=f_1(\theta)\) y \(\rho_1=f_2(\theta)\), su cisoide es la curva \(\rho=f_1(\theta)-f_2(\theta)\)".

La siguiente construcción de GeoGebra calcula, para cada ángulo \(\alpha\), la interesección entre la recta \(y=tg(\alpha)x\) y las dos rectas o curvas que aparecen en naranja y verde. Si llamamos B y C a dichas intersecciones, se calcula el punto L de la cisoide trasladando el origen, el polo de la cisoide, según el vector BC. Es decir: \(L=O+BC\). La cisoide aparece en azul.

Para empezar podemos probar los tres ejemplos que incluyo:

  • Ej1: Folium de Descartes. A una recta le restamos una elipse.
  • Ej2: Cisoide de Diocles. A una recta le restamos una circunferencia.
  • Ej3: Hipérbola. Restamos dos rectas no paralelas.

Con la opción Puntos vemos para cada ángulo \(\alpha\) la relación entre los puntos O, B, C y L. También podemos verlo en modo animación presionando el botón play.

Una vez familiarizados con los ejemplos, podemos probar otras posibilidades añadiendo nuestras propias ecuaciones polares. Al presionar el botón \(\rho1(x)\) o el \(\rho2(x)\) aparecen tres casillas para incluir una ecuación y los extremos de su dominio. En ambos casos, para la variable de la ecuación polar (el ángulo) hay que utilizar \(x\) (y no \(\theta\) o cualquier otra letra griega, como es habitual). Una vez introducidas las nuevas ecuaciones, el botón Generar dibuja la cisoide.

El dominio de la cisoide se calcula como intersección de los dominios de las dos ecuaciones de partida.

 

En esta otra construcción se puede ver cómo la cisoide resultante de restar una circunferencia de una recta varía, permaneciendo fija la circunferencia, según la distancia del polo a la recta. Dicha distancia se da en radios de circunferencia y puede cambiarse manualmente o automáticamente presionado el botón play. También se puede arrastrar el punto C.


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