Hotel de Hilbert

Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... Un noche que estaba el hotel completamente ocupado llegó un cliente pidiendo una habitación. El gerente, que en sus ratos libres se dedicaba a las matemáticas, no vio problema ninguno: hizo que cada cliente se moviese a la habitación siguiente, de modo que el de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente, de modo que todo el mundo quedó alojado y la habitación 1 libre para el recién llegado.

Al día siguiente la situación fue aún más complicada, pues llegó un autocar con infinitos turistas necesitados de habitación. El gerente, que no se arredraba ante nada, hizo que el ocupante de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente según la regla n ► 2n, de modo que todas las habitaciones impares quedaron disponibles para los nuevos huéspedes.

¿Y si llegasen infinitos autobuses con infinitos viajeros cada uno?

La solución nos la ofrece sensei1405 y consiste en una sabia utilización de los números primos: "En principio lo que hace el gerente es liberar todas las habitaciones impares haciendo que todos los clientes se cambien a la habitación 2n. Seguidamente hace que los pasajeros del primer autobús se alojen en las habitaciones 3, 3², 3³,...3ⁿ, los del siguiente autobús en las habitaciones 5, 5², 5³,.. 5ⁿ, y así sucesivamente va alojando a los pasajeros de los infinitos autobuses utilizando para ello las potencias sucesivas de los infinitos números primos."

Que sensei1405 se salte las potencias de 2 resalta el hecho de que 2 sea el único número primo par, añado.