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89 = 8·9 + (8+9)

Pues sí, 8 y 9 tienen este "remarcable conportamiento", en palabras de Thomas Koshy. La cuestión es ¿qué números cumplen esto mismo?

Precisando:

¿Qué números naturales admiten una descomposición de sus cifras en dos partes de modo que el producto más la suma de dichas partes sea el número original?

 

Solución

     
► Bibliografía: Koshy. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, p.11.  
 
 





SOLUCIÓN

Las cifras de un número natural cualquiera se pueden descomponer en dos partes a y b de la siguiente manera: \(a·10^n+b\).

Si se cumple el enunciado del problema, tenemos:

\(a·10^n+b=a·b+(a+b)\)

\(a·10^n+b=a·b+a+b\)

\(a·10^n=a·b+a\)

\(a·10^n=a·(b+1)\)

\(10^n=b+1\)

\(b=10^n-1\)

Es decir, que b es una secuencia de nueves, mientras que a puede ser cualquier cosa.

Visto al revés, ahora es obvio:

\(a·10^n+b=a·(10^n-1+1)+b=a·(10^n-1) + a + b\)

Ejemplos:

  • 89 = 8·9 + (8+9)
  • 35999 = 35·999 + (35+999)
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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