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Dos circunferencias inscritas

Supongamos que el diámetro de las circunferencias es 10 cm.

a) ¿Cuál es el área de la superficie verde en la figura 1?

b) ¿Cuál es el área de la superficie verde en la figura 2?

 

Solución


Figura 1


Figura 2

     

Alguien lo vio en internet y me lo enseñó.

Lo interesante es que el apartado a) es prácticamente trivial, mientras que el apartado b), siendo tan parecido al a), necesita, sin embargo, herramientas algo más sofisticadas (nada que no se vea en el instituto).

 
 
 





SOLUCIÓN

a) Sencillo: al área del rectángulo le restamos el área de los dos círculos y el resultado se divide entre dos.

\(A_r=20·10=200\ cm^2\)

\(A_c=\pi·5^2=25\pi\ cm^2\)

\(A=\dfrac{200-50\pi}{2}\ cm^2=100-25\pi\ cm^2\)

 

b) Ahora la cosa se complica: tenemos que calcular el área del pequeño triángulo curvilíneo verde de la figura y después restársela al área obtenida en el apartado a).

 

Para calcular dicha área vamos a restarle al triángulo azul

la luneta naranja y el triángulo curvilíneo rosa.

 

1. Triángulo azul:

\(A_{ta}=\dfrac{10·5}{2}=25\ cm^2\)

2. Triángulo curvilíneo rosa: al área de un cuadrado le quitamos la de un círculo y dividimos entre 4:

\(A_{tcr}=\dfrac{100-25\pi}{4}\ cm^2\)

3. Segmento circular naranja:

Para obtener su área vamos a restarle al área del sector circular azul

el área del triángulo isósceles marrón.

 

3.1 Área del triángulo isósceles marrón:

\(sen\alpha=\dfrac{h}{5} \Rightarrow h=5sen\alpha\)

\(cos\alpha=\dfrac{b}{5} \Rightarrow b=5cos\alpha\)

\(A_{tim}=\dfrac{2·5cos\alpha·5sen\alpha}{2}=25sen\alpha cos\alpha\)

Como

\(sen \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(cos \alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

tenemos:

\(A_{tim}=25\dfrac{2}{\sqrt{5}}·\dfrac{1}{\sqrt{5}}=10\)

3.2 Área del sector:

\(A_s=\dfrac{\pi 5^2·(\pi-2\alpha)}{2\pi}=\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}\)

3.3 Área del segmento circular naranja:

\(A_{scn}=\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10\)

Ya podemos calcular el área del triángulo curvilíneo verde:

\(A_v=A_{ta}-A_{tcr}-A_{scn}=25-\dfrac{100-25\pi}{4}- (\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10)\)

Restándole esta área a la del apartado a) tenemos la solución del problema:

\(A=100-25\pi-(25-\dfrac{100-25\pi}{4}- (\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10))\)

Solo falta resolver \(\alpha\), pero esto es fácil:

\(\alpha=tg^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

\(A=90-\dfrac{75\pi}{4}-25·tg^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=19,5\ cm^2\)

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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