Sea una recta que pasa por el punto A de coordenadas: \(A=(a_1,a_2)\)

Ecuación vectorial:

\[(x,y)=(a_1,a_2) + t(u_1, u_2)\]

Desglosando, tenemos las ecuaciones paramétricas:

\[\left\{\begin{array}{l} x=a_1+t·u_1\\y=a_2+t·u_2 \end{array}\right.\]

Despejando t en ambas ecuaciones,

\[t=\dfrac{x-a_1}{u_1}\]

\[t=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]

\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]

Multiplicando en cruz y agrupando a la izquierda,

\[u_2(x-a_1)=u_1(y-a_2)\]

\[u_2x-u_2a_1=u_1y-u_1a_2\]

\[u_2x-u_1y+u_1a_2-u_2a_1=0\]

tenemos la ecuación general (o implícita o cartesina):

\[Ax+By+C=0\]

donde \(A=u_2\) y \(B=-u_1\)

Volviendo a la ecuación continua y pasando \(u_2\) al otro miembro, tenemos la ecuación punto-pendiente:

\[y-a_2=m(x-a_1)\]

donde \(m=\dfrac{u_2}{u_1}\) es la pendiente de la recta.

Despejando la y

\[y=m(x-a_1)+a_2\]

\[y=mx+a_2-ma_1\]

\[y=mx+n\]

donde m es, como antes, la pendiente, y n es la ordenada en el origen.

Nota: tenemos tres formas de obtner la pendiente: \(m=\dfrac{u_2}{u_1}=tg\alpha=\dfrac{-A}{B}\), siendo \(\alpha\) el ángulo que forma la recta con la horizontal.

Otra nota: dada la pendiente m, un vector director de la recta es el que tiene por coordenadas (1, m).