Razones trigonométricas del ángulo agudo

En un triángulo retángulo se definen las razones trigonométricas de un ángulo agudo \(\alpha\) de la siguiente manera:

\({\rm sen}\alpha=\dfrac{cateto\ \ opuesto}{hipotenusa}\)

\({\rm cos}\alpha=\dfrac{cateto\ \ adyacente}{hipotenusa}\)

\({\rm tg}\alpha=\dfrac{cateto\ \ opuesto}{cateto\ \ adyacente}\)

En la figura: \({\rm sen}\alpha=\dfrac{b}{a}\); \({\rm cos}\alpha=\dfrac{c}{a}\); \({\rm tg}\alpha=\dfrac{b}{c}\)

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Siendo P y Q puntos de la figura, las razones trigonométricas de un ángulo \(\alpha\) cualquiera se definen de la siguiente manera:

\({\rm sen}\alpha={coordenada\ \ vertical\ \ de\ \ P}\)   

\({\rm cos}\alpha={coordenada\ \ horizontal\ \ de\ \ P}\)     

\({\rm tg}\alpha={coordenada\ \ vertical\ \ de\ \ Q}\)     

Para explorar los cuatro cuadrantes, pulsa aquí.

Relaciones fundamentales

Para todo ángulo \(\alpha\) se cumple:

\({\rm sen}^2\alpha+{\rm cos}^2\alpha=1\)

\({\rm tg}\alpha=\dfrac{\rm sen\alpha}{\rm cos\alpha}\)

\(1+{\rm tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\rm cos^2\alpha}\)

Angulos complementarios, suplementarios y opuestos

Si \(\alpha\) y \(\beta\) son complementarios, es decir, \(\alpha+\beta=90º\), se tiene:

\({\rm sen}\alpha={\rm cos}\beta\)

\({\rm cos}\alpha={\rm sen}\beta\)

\({\rm tg}\alpha=\dfrac{1}{\rm tg\beta}\)

Si \(\alpha\) y \(\beta\) son suplementarios, es decir, \(\alpha+\beta=180º\), se tiene:

\({\rm sen\alpha=\rm sen\beta}\)

\({\rm cos\alpha=\rm -cos\beta}\)

\({\rm tg\alpha}={\rm -tg\beta}\)

Si \(\alpha\) y \(\beta\) son opuestos, es decir, \(\alpha=-\beta\), se tiene:

\({\rm sen\alpha=\rm -sen\beta}\)

\({\rm cos\alpha=\rm cos\beta}\)

\({\rm tg\alpha}={\rm -tg\beta}\)

Las relaciones anteriores se deducen fácilmente a partir de la circunferencia gomiométrica:

• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos opuestos

Razones trigonométricas de los principales ángulos

Observese que la segunda fila se deduce aplicando la relación existente entre las razones de los ángulos complementarios y la tercera de calcular la tangente como el cociente entre el seno y el coseno.

Reducción al primer cuadrante

Si \(\alpha\) pertenece al segundo cuadrante, se toma \(\beta=180º-\alpha\)

Si \(\alpha\) pertenece al tercer cuadrante, se toma \(\beta=\alpha-180º\)

Si \(\alpha\) pertenece al cuarto cuadrante, se toma \(\beta=360º-\alpha\)

Las relaciones anteriores se deducen fácilmente a partir de la circunferencia goniométrica.

Teoremas del seno y del coseno

Teorema del seno

\(\dfrac{a}{sen A}=\dfrac{b}{sen B}=\dfrac{c}{sen C}\)

Teorema del coseno

\(c^2=a^2+b^2-2ab cosC\)

 

Inversas numéricas

\({\rm cosec}\alpha=\dfrac{1}{\rm sen\alpha}\)

\({\rm sec}\alpha=\dfrac{1}{\rm cos\alpha}\)

\({\rm cotg}\alpha=\dfrac{1}{\rm tg\alpha}\)

Inversas funcionales

La calculadora tiene funciones que, dado un valor, proporcionan uno de los ángulos cuyo seno, coseno o tangente corresponden a dicho valor. Hay que tener en cuenta el cuadrante para decidir si el ángulo proporcionado es el buscado o no.

\({\rm arcsen}x={\rm sen}^ {-1}x\)     

\({\rm arccos}x={\rm cos}^ {-1}x\)

\({\rm arctg}x={\rm tg}^ {-1}x\)