Demostración del teorema de la altura con áreas

El teorema

El teorema de la altura, tal como se cuenta en el instituto, dice:

Teorema (versión 1): En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.

Si llamamos h a la altura y m y n a las proyecciones sería: \(h^2=m·n\)

Otra forma de verlo es pensando en áreas. Desde este punto de vista, \(h^2\) sería el área de un cuadrado de lado h, mientras que \(m·n\) sería el área de un rectángulo de lados m y n.

Teorema (versión 2): En un triángulo rectángulo, dada la altura sobre la hipotenusa, el área del cuadrado que la tiene por lado coincide con el área del rectángulo que tiene por lados las proyecciones de los catetos.

Vamos, que el cuadrado rojo tiene la misma área que el rectángulo verde.

Esta segunda versión es la que vamos a demostrar. Por cierto: en lo que sigue, los signos = y + significan 'igualdad' y 'suma' de áreas.

La demostración

1. El teorema de Pitágoras, expresado en términos de áreas, dice que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Aplicándolo a nuestro triángulo, tenemos:

à

2. Al dibujar la altura sobre la hipotenusa, el triángulo queda dividido en dos triángulos que también son rectángulos, por lo que podemos aplicar Pitágoras a cada uno de ellos:

à

à

3. Sumando las dos igualdades anteriores, tenemos:

4. En el paso 1 hemos visto que

por lo que, usando la igualdad 3:

5. Por otra parte, el cuadrado violeta, que es el cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo original,

se puede descomponer como sigue (obsérvese que los rectángulos verdes son iguales y tienen por lados las proyecciones de los catetos):

de modo que

6. Si comparamos lo obtenido en los pasos 4 y 5,

es obvio que

como queríamos demostrar.

Sin palabras

El teorema y la demostración, sin cháchara, quedarían así:

Teorema:

à

Demostración:

Nota: el esquema se amplía con un clic.

Geogebra

En la siguiente construcción se pueden elegir invidualmente los elementos que se quiera así como algunas de las fases de la demostración. El botón rojo se puede arrastar con el botón izquierdo del ratón.

Aplicaciones

El teorema de la altura es un teorema de cuadratura, pues dado un rectángulo proporciona un método para hallar un cuadrado con la misma área.

Aplicando este teorema se pueden además realizar distintas operaciones con segmentos. Un par de ejemplos son:

• Inverso de un segmento.
• Raíz cuadrada.