Demostración de los teoremas del cateto, de Pitágoras y de la altura mediante paralelogramos

El andamiaje: pensando a la griega

Hace unos días demostré el teorema de la altura mediante áreas utilizando el teorema de Pitágoras. Animado por lo colorido del resultado, pensé inmediatamente, como es obvio, en el teorema del cateto. Cuando lo interpreté geométricamente, cosa que confieso no haber hecho hasta ahora, vi que lo que dice el teorema es que el cuadrado y el rectángulo azules de la figura tienen el mismo área:

La verdad es que me quedé sorprendido porque esto implica trivialmente el teorema de Pitágoras, de modo que demostrar uno es demostrar automáticamente el otro. Aquello le daba otro cariz al asunto, porque ya no se trataba simplemente de demostrar el teorema del cateto, sino ¡el de Pitágoras!

Me quedé mirando el resultado intentando encontrar una forma de atacar el problema. Me pregunté entonces qué haría un antiguo griego ante aquello. Me respondí yo mismo de inmediato: "dibujar rayas", así que dibujé las rectas de todos los lados de los polígonos del dibujo.

No me espersaba aquello: fue terminar el dibujo y ver que ya tenía todo lo necesario para demostrar el teorema del cateto y, por añadidura, el de Pitágoras. Estaba allí, ante mí: solo había que destacar algunas de aquellas líneas sobre las demás y utilizar la fórmula del área del paralelogramo. Nada más.

Ya, ya sé que llego más de dos mil años tarde, pero para mí ha sido una emocionante sorpresa. De hecho, han sido dos sorpresas, porque un vistazo después vi que de aquel montón de líneas no se derivaba trivialmente una demostración del teorema de Pitágoras, sino dos. De la otra hablaré en otro fragmento.

En la siguiente construcción se puede ver "lo que vi":

Un pequeño repaso

Cateto: cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.

Hipotenusa: lado opuesto al angulo recto en un triángulo rectángulo.

Altura: en un triángulo, recta que pasa por un vértice y corta perpendicularmente al lado contrario. También llamamos altura a la porción de recta que va desde el vértice al lado contrario. En tal caso se trata de un segmento.

Altura sobre la hipotenusa: altura que pasa por el vértice del ángulo recto. Como consecuencia, corta perpendicularmente a la hipotenusa.

Proyección de un cateto sobre la hipotenusa: la altura divide la hipotenusa en dos segmentos. Cada uno de ellos es la proyección perpendicular de un cateto. Obviamente, la suma de ambas proyecciones es la hipotenusa.

Un resultado previo: el área del paralelogramo

Para demostrar los tres teoremas solo vamos a necesitar un resultado previo:

El área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura.

Una demostración de este resultado la podemos ver en este enlace. En cualquier caso, lo importante ahora y con lo que nos tenemos que quedar es que si arrastramos el punto rojo de la siguiente construcción en horizontal, obtenemos romboides verdes con el mismo área que el rectángulo azul, pues todos ellos tienen la misma base y la misma altura.

El teorema del cateto

Este teorema afirma que

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre un cateto es igual al área del rectángulo que tiene por lados la hipotenusa y la proyección del cateto sobre esta.

Para visualizar este resultado dibujamos un triángulo rectángulo y los tres cuadrados construidos sobre sus lados.	Si nos fijamos en el cateto izquierdo, el teorema afirma que el área del cuadrado rojo coincide con el área del rectángulo rojo.	Si nos fijamos en el cateto derecho, el teorema afirma que el área del cuadrado verde coincide con el área del rectángulo verde.

Demostración

Vamos a demostrar el resultado para el cateto izquierdo y después repetiremos el argumento para el cateto derecho.

Cateto izquierdo

1. Dibujamos las rectas que contienen los lados de la figura y añadimos la altura sobre la hipotenusa.

2. Observamos que el área del cuadrado izquierdo es igual al área del romboide rosa. Como comparten la base y tienen la misma altura por estar ambas figuras encajadas entre las mis rectas paralelas, basta recordar la fórmula del área del paralelogramo para afirmar la igualdad de áreas.

3. Observamos ahora que el área del romboide rosa es igual a la del rectángulo rojo de abajo. Que sus alturas miden lo mismo (las alturas ahora están en horizontal) lo podemos afirmar de nuevo por estar los dos polígonos encajados entre las mismas dos rectas paralelas. Para ver que la longitud de las bases también es la misma nos podemos ayudar de los dos triángulos que he resaltado en gris: es fácil verificar que son iguales, por lo que también lo son los tres segmentos azul cian y, por tanto, las bases de las dos figuras. Teniendo iguales las bases y las alturas, los dos poligonos tienen la misma área.

De los pasos 2 y 3 se concluye que el área del cuadrado izquierdo (en rojo) es igual al área del rectángulo rojo, como queríamos demostrar.

Cateto derecho

Con el mismo razonamiento anterior vemos que el área del cuadrado verde es igual al área del rectángulo verde, con lo que queda demostrado el teorema.

***

Coroloario 1: el teorema de Pitágoras

El teorema más famoso de la historia dice:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Aplicándolo a la siguiente figura, el teorema nos informa de que el área del cuadrado amarillo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados rojo y verde. Esto es lo que vamos a demostrar.

Demostración

Basta aplicar el teorema del cateto a los dos catetos para ver que los cuadrados rojo y verde llenan exactamente el cuadrado amarillo. Listo.

***

La construcción siguiente nos muestra todo el proceso de modo dinámico: basta darle al botón Ambos para ver un resumen de lo que hemos hecho. También se puede cambiar el triángulo arrastrando el punto azul, arrancar independientemente cada lado, parar, rearrancar...

***

Corolario 2: el teorema de la altura

La altura sobre la hipotenusa (la recta) ha sido clave en la demostración. Ahora vamos a obtener un resultado que la relaciona (como segmento) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Se conoce como teorema de la altura y dice lo siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la altura coincide con el área de un rectángulo que tiene por lados a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

1. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que forma la altura a la izquierda, el área del cuadrado rojo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados marrón y morado.	2. Por otro lado, el teorema del cateto nos dice que el área del cuadrado rojo es igual al área del rectángulo rojo.	3. La conclusión es obvia: el área del cuadrado morado es igual a la diferencia de las áreas del rectángulo rojo y el cuadrado marrón, es decir: el área del rectángulo gris.

¿Y cuáles son las dimensiones del rectángulo gris? Si llamamos m a la proyección del cateto izquierdo sobre la hipotenusa, n a la proyección del cateto derecho sobre la hipotenusa, a a la propia hipotenusa y observamos el siguiente dibujo veremos que son m y n, es decir, las proyecciones de los catetos, justo lo que afirma el teorema.

***

Resumiendo: las fórmulas

Estamos acostumbrados a las formulaciones algebraicas de los teoremas. Si damos nombre a los distintos elementos que hemos estado manejando, tal y como se ve en la siguiente figura

lo que hemos demostrado es lo siguiente:

1. Teorema del cateto: el área del cuadrado construido sobre un cateto es igual al área del rectángulo que tiene por lados la hipotenusa y la proyección del cateto sobre dicha hipotenusa.

\[b^2=m·a\]

\[c^2=n·a\]

2. Teorema de Pitágoras: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

\[a^2=b^2+c^2\]

3. Teorema de la altura: el área del cuadrado construido sobre la altura es igual al área del rectángulo que tiene por lados las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

\[h^2=m·n\]

Epílogo

No sé cuántas veces habré contado y demostrado de no sé cuántas maneras el teorema de Pitágoras. Sin embargo, tras este trabajo, siento haberlo hecho mío... otra vez.