Área del paralelogramo

Se trata de demostrar que

el área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura.

1. La típica demostración

Para un rectángulo sabemos que es cierto. Quedaría entonces demostrarlo para un romboide cualquier. Esto se suele hacer explicando que el área de un romboide es igual que la un rectángulo con la misma base y la misma altura y se justifica cortando el triángulo saliente de un lado del romboide y añadíéndoselo por el otro lado para formar un rectángulo. Como el área del rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, el resultado queda demostrado también para el romboide.

En la siguiente construcción, moviendo el deslizador, se ve la idea.

2. Una demostración general

Sin embargo, este esquema no funciona si tenemos un romboide como el siguiente:

Pero no hay que preocuparse. Consideremos el rectángulo que contiene al romboide tal y como se ve en la figura:

El área del rectángulo ABCD es \[A=(b+c)·h\]

Por otra parte, los triángulos EBC y AFD tienen el mismo área y vale \[A=\dfrac{c·h}{2}\]

Así, el área del romboide AECF será la del rectángulo menos la de los dos triángulos:

\[A=(b+c)·h-2·\dfrac{c·h}{2}\]

Desarrollando: \[A=b·h+c·h-c·h\]

Es decir, \[\boxed{A=b·h}\]

que es lo que queríamos demostrar.

3. Descomposiciónm gráfica

En cualquier caso, si queremos ver gráficamente la equivalencia de las áreas de romboide y paralelogramo podemos utilizar el truco algo naif del punto 1 para descomponer el romboide en escalera de modo que podemos recomponer sus partes y obtener el rectángulo.

La siguiente construcción muestra cómo. Arrastrando el punto rojo tenemos toda una colección de romboides de igual área con sus correspondientes descomposiciones.

4. Aplicaciones

Con este sencillo resultado no solo vamos a poder calcular áreas de romboides, sino que vamos a poder demostrar ¡el teorema de Pitágoras!