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Como se ve en Identificaciones topológicas, la botella de Klein es el resultado de identificar los dos pares de lados de un cuadrado, uno de ellos con lados con el mismo sentido y el otro con los lados de sentidos opuestos.
La idea que vamos a seguir para dibujar la botella de Klein es utilizar la técnica del engordado de curvas y, para que se entienda mejor, vamos a aplicarla a otra superficie relacionada: el toro.
 1. Dibujando el toro.
Como se explica en el Engordando curvas, el procedimiento consiste en partir de una curva y trazar para cada punto una circunferencia centrada en él, que esté inmersa en el plano normal a la curva y con un radio a elegir. De esta forma obtendremos un cilindro curvo.
En el caso del toro, la curva será una circunferencia y el radio constante.
Veamos algunos momentos de la generación de la superficie:
   
En la siguiente construcción podemos ver la curva a engordar en verde y la circunferencia generadora en rojo. Moviendo el deslizador de abajo veremos cómo la circunferencia roja crea la superficie buscada, el toro, que se puede ver clicando en la casilla correspondiente. Para mover la imagen, arrastra con el botón derecho del ratón. Ojo: tarda.
 2. Dibujando la botella de Klein.
Si le echamos un vistazo a la imagen de la derecha, vemos que el caso de la botella de Klein es algo más complicado. Por un lado, el radio no es constante. Por otro, el encuentro de los dos extremos del cilindro no es frontal, como en el toro, sino que debe producirse avanzando ambos extremos en el mismo sentido.
La solución nos la da Gregorio Franzoni en su artículo The Klein Bottle: Variations on a Theme.
Como curva sugiere utilizar la piriforme, que nos aporta ese punto singular que necesitamos para el encuentro de las dos circunferencias.
Y como radio propone la función: \(\dfrac{11}{2} -\dfrac{2}{5} (x - π) \sqrt{x (2\pi - x)}\), en cuya gráfica (abajo) vemos que va a permitirnos ensanchar el cilindro curvo para crear el cuepro de la botella, luego estrecharlo para crear su cuello y después, una vez dentro del cuerpo, volverse a ensanchar hasta el tamaño original.
Veamos algunos pasos:
   
   
El resultado final puede verse en la siguiente construcción 3D. Una vez más, moviendo el deslizador veremos la circunferencia roja recorriendo la superficie buscada. Para mover la imagen, arrastra con el botón derecho del ratón. Para ver la superficie generada, clica en la casilla correspondiente. Ojo: tarda.
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