Motivación
Kant, en la Crítica de la Razón Pura, dice que "A través de una cadena de inferencias y guiado siempre por la intuición, el geómetra consigue así una solución evidente y, a la vez, universal del problema". Aunque sin citarlo, el geómetra al que se refiere es Euclides y la "cadena de inferencias", la que se puede ver en la proposición 32 de los Elementos.
De sus palabras, dos llamaron mi atención: intuición y evidente. Para intentar esclarecer el sentido en el que las usó Kant, estudié dicha proposición 32. Entonces vi que Euclides, para demostrarla, usaba las proposiciones 13, 29 y 31. Al estudiar a su vez estas proposiciones vi que la demostración de la 13 utilizaba la 11, la de la 29 la 13 y la 15 y la de la 31 la 23 y la 27. En este punto entendí que necesitaba un mapa.
La construcción
La siguiente construcción de GeoGebra permite explorar las conexiones que existen entre las proposiciones del primer libro de los Elementos de Euclides y averiguar las proposiciones necesarias para llegar a una proposición dada.
Las instrucciones de uso son las siguientes:
1. Cada punto representa una proposición. Las flechas indican que la proposición de partida se utiliza en la demostración de la proposición de llegada.
2. Marcar un número de la tabla de la izquierda significa quitar del esquema la proposición así numerada y todas aquellas que dependen de ella.
3. Los puntos pueden moverse sin que nada cambie.
4. Se pueden mostrar u ocultar todas las proposiciones de una vez con los botones correspondientes.
5. Se incluyen las construcciones mínimas para las proposiciones 32 (los ángulos de un triángulo suman dos rectos) y 47 (teorema de Pitágoras).
Euclides no siempre explicitaba las proposiciones que utilizaba en sus demostraciones. Para incluir todas las implicaciones, he cotejado la edición de Gredos con las siguientes páginas web:
a) http://newton.matem.unam.mx
b) http://aleph0.clarku.edu
c) http://www.perseus.tufts.edu
y con una edición en griego original y griego moderno del OEDB.
Lo que no he hecho ha sido corregir a Euclides: el esquema muestra lo que hizo, errores incluidos. Diré que me hizo ilusión pillarle un gazapo en... ¡la proposición número 1! Luego averigué que Dedekind ya lo había visto en su momento, lo cual era de esperar.
Una última cosa: el esquema puede dar la falsa sensación de que hay proposiciones terminales, como la 6, pero resulta que se utilizan en libros posteriores.
Conclusiones
Si en la construcción anterior hacemos clic en el botón "dos rectos", veremos el camino que sigue Euclides para demostrar que los ángulos de un triángulo suman dos rectos. Consta de 18 proposiciones previas, más todas las definiciones, postulados y nociones comunes que explícita o implícitamente se utilizan en ellas o en la propia demostración de la proposición 32. El camino seguido por Euclides no tienen por qué ser, desde luego, el más corto: a fin de cuentas, las demás proposiciones tienen sentido por sí mismas y para demostrar otros resultados. Pero Kant hablaba de esta demostración, y le pareció evidente y guiada "siempre" por la intuición.
Dos cosas:
1. Esa intuición de la que habla tiene que ver con el modo en que los humanos percibimos el mundo, modo que Euclides intento cristalizar en sus postulados y nociones comunes y que hoy sabemos parcial y erróneo. La mente humana se las apaña para confeccionar una teoría acerca de cómo es el mundo exterior a partir de la insuficiente información aportada por los sentidos. La cosa es que lo hace bastante bien: a fin de cuentas, nos movemos por el mundo si tropezar demasiado. Sin embargo, la mente a veces se lía, como nos demuestran las ilusiones ópticas, y desde luego es incapaz de alcanzar el grado de detalle necesario para percibir la complejidad de la geometría del espacio.
2. La otra tiene que ver con el concepto de evidencia: es inegable que las demostraciones de Euclides son de una elegancia y una claridad considerables, pero también es cierto que contienen un pequeño número de errores, como el que ya he comentado, por lo que la evidencia no lo era tanto. De hecho, la potencia de las matemáticas provienen de su rigor, y este se basa, entre otras muchas cosas, en sospechar de las evidencias. Por eso son necesarias las demostraciones. Y hasta ante ellas hay que estar vigilantes: pueden contener errores.
Kant mantenía que las matemáticas estaba constituidas por juicios sintéticos a priori. Con lo de sintéticos quería decir que no eran meras deducciones. Con lo de a priori, que dichos juicios eran previos a la experiencia. Pero si uno le hecha un vistazo a los postulados de los Elementos de Euclides, verá que emanan directamente de la experiencia del mundo tal y como la percibimos los humanos. Y si luego seguimos las demostraciones vemos que lo que hace es deducir de esos postulados nuevos resultados. Así, nos encontraríamos con juicios a posteriori en un caso y analíticos en el otro, pero nunca con juicios sintéticos a priori.
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