En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos rectos.
1. Se prolonga \(\text{B} \Gamma\) hasta \(\Delta\). Ángulo \(\text{A} \Gamma \Delta\)
2. Se dibuja \(\Gamma \text{E}\) desde \(\Gamma\) y paralela a \(\text{AB}\) [Proposición 1.31]
3. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{A} \Gamma\) las corta, los ángulos \(\text{BA} \Gamma\) y igual \(\text{A} \Gamma \text{E}\) son iguales [Proposición 1.29]
4. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{B} \Delta\) las corta, los ángulos \(\text{E} \Gamma\Delta\) y \(\text{AB}\Gamma\) son iguales [Proposición I.29]
5. Por tanto, \(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma =\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta\)
Como \(\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta=\text{A} \Gamma \Delta\), se tiene que
\(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \Delta\), primer resultado.
6. Sumando \(\text{A} \Gamma \text{B}\) en los dos miembros de la igualdad anterior, tenemos
\(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta\)
Por la [Proposición I.13] \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta=\text{dos rectos}\)
Luego \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{dos rectos}\)
