Suma de los primeros términos de una progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multipliando el anterior una cantidad fija llamada razón. Un ejemplo sería la sucesión dad por las potencias de dos (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...), que se puede obtener partiendo de 1 y después multiplicando cada término por 2 para obtener el siguiente.

Utilizando la definición por recurrrencia de estas sucesiones es fácil sumar los primeros términos:

Sea \(S_n\) la suma de los n primeros término de la sucesión, que nombraremos como \(a_1, a_2, a_3... a_n\)

Entonces:

\(S_n=a_1+ a_2+...+ a_n\)

\(S_n-a_1= a_2+...+ a_n\)

Por la definición de progresión geométrica, podemos expresar cada término en función del anterior:

\(S_n-a_1= r·a_1+...+r· a_{n-1}\)

Sacando factor común:

\(S_n-a_1= r·(a_1+...+ a_{n-1})\)

El paréntesis de la derecha es la suma \(S_n \) menos el último término:

\(S_n-a_1= r·(S_n- a_n)\)

\(S_n-a_1- r·S_n+r·a_n=0\)

\(S_n·(1- r)+r·a_n-a_1=0\)

\(S_n=\frac{a_1-r·a_n}{1- r}\)

Expresando \(a_n\) como \(a_1·r^{n-1}\), se tiene

\(S_n=\frac{a_1-r·a_1·r^{n-1}}{1- r}\)

y sacando de nuevo factor común:

\(S_n=\frac{a_1·(1-r^n)}{1- r}\)

En la conocida leyenda de la invención del ajedrez y los granos de tigo, hay que calcular, precisamente, la suma de los primeros 64 términos de la progresión señalada arriba.