El cardinal de un conjunto

¿Cómo podemos decidir si dos conjuntos de cosas tiene la misma cantidad de elementos? Por supuesto podemos contarlos y ver si los números obtenidos al final son los mismos. Pero hay otra forma, que es intentar establecer entre ellos una biyección, es decir, una relación entre sus elementos de modo que a cada elemento de ambos conjuntos le corresponda uno y solo uno del otro conjunto. Si dicha biyección es posible podremos decir que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, mientras que si no, pues no.

Este método de contar sin números es posiblemente uno de los primeros hallazgos matemáticos de los humanos. Antiguamente se contaba la cantidad de cabezas de los rebaños metiendo en una bolsita una piedra por cada una de ellas a medida que iban saliendo del aprisco, de modo que a la vuelta bastaba con sacar una de tales piedrecitas (en latín calculŭs) de la bolsa por cada oveja que entrase en el aprisco para saber que habían vuelto todas. También se han encontrado huesos con marcas que posiblemente sirviesen para algo similar.

Si a la cantidad de elementos de un conjunto le llamamos cardinal, está claro que lo que nos permite el método de la biyección es ver si dos conjuntos poseen o no el mismo cardinal sin necesidad de disponer de un sistema de numeración. Cuando dos conjuntos tiene el mismo cardinal se dicen equipotentes.

En cualquier caso, no hacemos nada muy distinto cuando contamos con números. En algún momento del pasado nos dió a los humanos primero por ponerle marcas a las piedras y después por memorizarlas en cierto orden para no tener que llevarlas encima. A partir de ese momento, cuando queremos contar los elementos de un conjunto, nos limitamos a establecer una biyección entre el recuerdo de las piedras marcadas (eso que llamamos números) y los objetos que queremos contar. Como siempre lo hacemos en el mismo orden, basta recordar la marca de la última piedra (el último número) para conocer el cardinal del conjunto.

La paradoja de Galileo y el infinito

Hasta aquí no parece que se haya dicho nada sorprendente. Las sorpresas viene cuando esto de comparar cardinales de conjuntos mediante biyecciones lo aplicamos a conjuntos muy grandes. Una de tales sorpresas se la llevó Galileo en el siglo XVI cuando se dio cuenta de que existe una biyección entre los números naturales y sus cuadrados:

La relación anterior es una biyección, pues a cada natural le corresponde un y solo un cuadrado perfecto (el suyo) y a cada cuadrado perfecto le corresponde un y solo un número natural (su raíz positiva). Gracias a esta biyección podemos emparejar los números de ambos conjuntos del mismo que emparejamos antes las piedras y las ovejas, por lo que podemos decir que ambos conjuntos numéricos son equipotentes, es decir, que tienen la misma cantidad de elementos.

Si se piensa un poco no es de extrañar que esta relación sea conocida como la paradoja de Galileo, pues nos muestra algo que resulta antiintuitivo, a saber: que hay tantos cuadrados perfectos como naturales. Es una forma de pensar habitual considerar que el todo es mayor que cada una de sus partes. Sin embargo, la biyección existente entre los números naturales y los cuadrados perfectos dice que una parte (los cuadrados perfectos) es, en lo que respecta a su cardinal, tan grande como el todo (los naturales).

Así se quedó el asunto hasta que en el siglo XIX Richard Dedekind llevase a cabo un giro conceptual extraordinario: en vez de considerar paradójica esta igualdad entre el todo y las partes, Dedekind pensó que este comportamiento digamos curioso de algunos conjuntos podía servir precisamente para caracterizarlos. De esta manera dio por primera vez una definición precisa de conjunto infinito: "Un conjunto S se llama infinito cuando es biyectable con una parte propia de sí mismo; en caso contrario se llama a S conjunto finito" . (Una parte de un conjunto se dice propia cuando no es el conjunto total). En este sentido, el conjunto de los números naturales es infinito. Y también el de los cuadrados perfectos, claro.

Numerabilidad y secuencias infinitas

Muchos se han preocupado del infinito a lo largo de la historia: Zenón volvió loco a todo el mundo con sus paradojas acerca de espacios y tiempos infinitamente divisibles; a Giordano Bruno le quemaron por afirmar la infinitud del universo y la existencia de una cantidad infinita de mundos; Newton y Leibniz se basaron en cantidades infinitamente pequeñas para crear el cálculo infinitesimal... Sin embargo, para que la matemática domesticase a bestia tan rebelde hubo que esperar al siglo XIX y al trabajo del ruso Georg Cantor.

Cantor rompió con dos ideas muy extendidas en su época: en primer lugar, defendió la existencia actual del infinito (actual en el sentido aristotélico, opuesto a potencial), pues consideraba que negarlo implicaba negar la existencia de los números irracionales, los cuales habían sido "construidos" por fin sobre bases firmes. En segundo lugar, y de un modo sorprendente, terminó con la creencia en que existe un solo infinito al demostrar que existía toda una jerarquía de ellos.

Para lo segundo Cantor tomó la idea de Dedekind de definir los conjuntos infinitos como aquellos equipotentes a un subconjunto propio y empezó a trabajar.

De la paradoja de Galileo se deduce que los cuadrados perfectos son equipotentes a los números naturales. Cantor utilizó por primera vez en 1882 el término numerable para etiquetar a los conjuntos que cumplen esta propiedad, ser equipotentes a los naturales, y se preguntó qué conjuntos numéricos la cumplían.

Una de las características de los números naturales es que se pueden escribir en secuencia. Gracias a ello, para demostrar que un conjunto es numerable basta encontrar un modo de poner todos sus elementos en forma de secuencia infinita. Si esto es posible es obvio que existe una biyección con los naturales, pues basta emparejar al primero con el 1, al segundo con el dos, al tercero con el tres y así sucesivamente (viene a ser lo que hacíamos al hacer que lasw ovejas saliesen del aprisco de una en una para contarlas cómodamente).

Utilizando este criterio es fácil ver que hay muchos conjuntos numerables además del ya visto de los cuadrados perfectos: los números pares, los impares, los primos... Escribo la secuencia de los conjuntos mencionados para que se vea lo que quiero decir:

Los números racionales

Visto lo visto, podríamos pensar que lo descubierto no es más que una peculiaridad de los números naturales (N), y que si los naturales tienen como una de sus características esenciales la secuencialidad tiene todo el sentido del mundo que sus subconjuntos hereden tal propiedad. Pero Cantor no estaba dispuesto a permitir este apacible estado de cosas y fue más lejos, mucho más lejos.

El siguiente conjunto objeto de su análisis fue el de los números racionales (Q), es decir, el de aquellos números que pueden representarse mediante un cociente de dos números enteros. Si los imaginamos representados gráficamente, veremos que son un conjunto denso, en el sentido de que entre dos números racionales siempre encontramos otro número racional (el punto medio, por ejemplo), a diferencia de los números naturales, cuyos elementos están aislados. En la figura de la derecha se puede ver cómo entre 1 y 2 la cantidad de racionales es infinita.

A tenor de lo visto, la siguiente pregunta puede parecer estúpida: ¿hay más números racionales que números naturales? Sin embargo, Cantor se la hizo, y la contestación que encontró es asombrosa: no, Q no tiene más elementos que N, pues ambos conjuntos son equipotentes.

Una de las demostraciones que dio Cantor de tal hecho se basa en el criterio de la secuencia infinita. Para aplicarlo debía, como hemos visto, encontrar una forma de colocar a todos los números racionales en secuencia. Para ello primero dispuso en una tabla todas las fracciones, de modo que en la primera fila estuviesen ordenadas las fracciones de denonimador 1, y en la segunda fila las de denominador 2, y así sucesivamente. Después ideó un camino que pasase por cada una de las fracciones:

Aunque en la tabla hay repeticiones (para cada número racional hay infinitas fracciones que lo representan), siguiendo el camino indicado por las flechas y eliminando dichas repeticiones tendremos la secuencia de los racionales deseada. De tan elegante manera demostró Cantor la numerabilidad de Q (y, de paso, la numerabilidad del conjunto de las fracciones).

¿Todos los infinitos son numerables?

Recapitulemos: llamamos numerable a todo conjunto equipotente con el conjunto de los números naturales. Por el simple procedimiento de colocar todos los elementos de un conjunto en secuencia infinita hemos demostrado que son numerables el conjunto de los pares, de los impares, de los primos, de los cuadrados perfectos y, lo que es más sorprendente, el conjunto de los números racionales.

Es decir, que todos esos conjuntos infinitos, pese a estar incluidos unos dentro de otros, pese a parecer tener algunos de ellos muchos más elementos que otros, resulta que en realidad tienen todos el mismo cardinal. ¿No será que todos los conjuntos infinitos son numerables? Podríamos pensar así. Podríamos pensar que no tienen sentido hacer distingos entre unos infinitos y otros y que si dos conjuntos son infinitos no podemos decir que uno tenga más elementos que el otro, como hemos visto ocurre con los naturales y los racionales. Sí, podríamos pensar así, pero nos equivocaríamos, pues el mismo Cantor encontró un conjunto infinito no numerable, un conjunto que, pese a ser infinito, tiene un cardinal distinto del de N.

Pero por hoy ya está bien. Hablaremos de este asunto en otra ocasión.