1. Primero, la de secundaria, que no creo necesite más explicaciones:

Sea \(x=0,\overline{9}\)

Multiplicando por 10 para saltar el periodo, \(10x=9,\overline{9}\)

Restando las dos últimas igualdades: \(9x=9\)

Así, x = 1 y, por tanto, \(0,\overline{9}=1\).

2. Esta otra demostración tiene de interesante que muestra cómo se pueden entender los desarrollos decimales infinitos como sumas infinitas:

Sea la sucesión de término general \(a_n=0,9·0,1^{n-1}\), que es una progresión geométrica de razón 0,1 cuyos primero términos son 0,9, 0,09, 0,009, 0,0009...

Entonces podemos escribir: \(0,\overline{9}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\).

Se sabe que la suma infinita de una serie geómetrica de razón menor que uno se obtiene mediante la fórmula \(\dfrac{a_1}{1-r}\), donde r es la razón de la progresión. Aplicándola a nuestro caso, \(0,\overline{9}=\dfrac{0,9}{1-0,1}=1\).

To Inifnity and Beyond, p.32.