Fracciones continuas

Definición

Como se puede leer en el Bestiario de Epsilones, una fracción continua es una expresión de la forma \[a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\dfrac{1}{a_4+\dfrac{1}{a_5+...}}}}\] donde \(a_1\) es un número entero y los \(a_i\) son números naturales. A estas fracciones continuas a veces se las llama simples para distinguirlas de aquellas que tienen numeradores distintos de uno, a las que se llama fracciones continuas generalizadas. A los números \(a_i\) se les llama elementos o, también, cocientes incompletos.

Euler demostró que todo número racional puede expresarse mediante una fracción continua finita y que todo número irracional puede expresarse mediante unas fracción continua infinita. Esto nos permite utilizar las fracciones continuas como otra forma de expresar los números reales. Por ejemplo, como 7,65 es igual a \[7+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6}}}}\]

podemos representar el número 7,65 con las expresión [7; 1, 1, 1, 6].

De la misma manera, dado que \[\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{...}}}}\]

podemos representar \(\sqrt{2}\) por mediante la expresión [1; 2, 2, 2...].

Esta expresión sería única si no fuera por las secuencias que terminan en uno, dado que expresiones como \([a_1; a_2, a_3, a_4, 1]\) y \([a_1; a_2, a_3, a_4+1]\) representan el mismo número: \[a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\dfrac{1}{a_4+\dfrac{1}{1}}}}=a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\dfrac{1}{a_4+1}}}\].

Cálculo, el algoritmo de Euclides y una calculadora automática

1. Dado un número real, es fácil calcular la fracción continua que lo representa. Basta repetir dos sencillos pasos:

a) El número se separa en parte entera y decimal.

b) Si la parte decimal es distinta de cero, se calcula la inversa de esa parte decimal y se repite el proceso con el resultado.

Va un ejemplo:

\[\dfrac{98}{35}=2+\dfrac{28}{35}=2+\dfrac{1}{\dfrac{35}{28}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{7}{28}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{28}{7}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}\]

2. Para el caso concreto de números racionales, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo comun divisor nos proporciona otra forma de obtener los cocientes incompletos:

Así, además de obtener que el MCD de 98 y 35 es 7, obtenemos de nuevo los ya conocidos cocientes incompletos 2, 1 y 4 de la fracción continua de \(\dfrac{98}{35}\).

Una consecuencia teórica de este método es que demuestra que todo número racional da lugar a una fracción continua infinita.

3. La figura siguiente es una calculadora de fracciones continuas. Pueden introducirse números racionales en forma de fracción como, por ejemplo, \(\dfrac{98}{35}\). Observese que la fracción continua que se obtiene es

\[2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1}}}\]

es decir, [2; 1,3,1] en vez de [2;1,4]: es la opción de GeoGebra.

También pueden introducirse números reales de diversos tipos. Para que te hagas una idea, aquí van algunos ejemplos:

1. Sección áurea \(\left( \phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\). Numerador: sqrt(5)+1. Denominador: 2
2. Raíz cuadrada. Por ejemplo, la de dos. Numerador: sqrt(2). Denominador: 1.
3. Raíz cúbica. Por ejemplo, la de dos: Numerador: cbrt(2). Denominador: 1.
4. Número \(\pi\). Numerador: alt+p. Denominador: 1.
5. Número e. Numerador: e. Denominador: 1.
6. Es interesante la fracción continua de este otro ejemplo: Numerador: e+1. Denominador: e-1.

El primer registro

Aunque se cree que ya fueron conocidas por los griegos, el primer registro que se tiene de las fracciones continuas es de una obra de Bombelli de 1572. Su objetivo era encontrar aproximaciones racionales para los radicales. La idea es la siguiente:

Sabemos que \(\sqrt{2}\) está entre uno y dos.

Sea entonces y tal que \(\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{y}\ \ \ \ \ \ [1]\).

Despejando, tenemos que \(y= 1+\sqrt{2}=2+\dfrac{1}{y}\ \ \ \ \ \ [2]\)

Sustituyendo [2] en [1] se tiene que

\[\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{y}}\]

Repitiendo la sustitución hasta el infinito

\[\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{...}}}}\]

Otras fracciones continuas irracionales

Algunas fracciones continuas de números irracionales se pueden obtener mediante un poco de algebra elemental. Veamos un par de ejemplos::

\(\sqrt{5}\)

Sea \(x=\sqrt{5}\).

Elevamos al cuadrado: \(x^2=5\)

Pasamos cuatro unidades a la izquierda: \(x^2-4=1\)

Descomponemos la diferencia de cuadrados en suma por diferencia

\((x+2)(x-2)=1\)

y despejamos

\(x=2+\dfrac{1}{2+x}\)

Sustituimos la x de la derecha por el valor de la x de la izquierda:

\(x=2+\dfrac{1}{2+2+\dfrac{1}{2+x}}\)

\(x=2+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{2+x}}\)

Volvemos a sustituir

\(x=2+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{2+2+\dfrac{1}{2+x}}}\)

\(x=2+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{2+x}}}\)

Repitiendo el proceso hasta el infinito tenemos

\(\sqrt{5}=2+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{...}}}}\)

\(\phi\) (Sección áurea)

Sabemos que la sección áurea es \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

Despejamos la raíz y elevamos al cuadrado:

\(\sqrt{5}^2=(2x-1)^2\)

\(5=4x^2-4x-4\)

Simplificamos

\(x^2-x-1=0\)

Sacamos factor común

\(x(x-1)=1\)

Despejamos una x:

\(x=1+\dfrac{1}{x}\)

Sustituimos en la x de la derecha el valorde la x de la izquierda

\(x=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\)

Volvemos a sustituir...

\(x=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}\)

... hasta el infinito

\(\phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{...}}}}\)

Propiedades

La representación de los números mediante fracciones continuas presenta varias ventajas. Una es obvia: los números racionales tienen una representación finita, mientras que la de los irracionales es infinita, a diferencia de la expresión decimal, que da infinitos decimales a todos los irracionales, pero también a los racionales periódicos. Prrueba de la importancia teórica de esta caracterización es que Lambert la utilizó para demostrar que el número \(\pi\) es un número irracional.

Además, las fracciones continuas simples siempre convergen y lo hacen de modo oscilante, de modo que no solo nos proporcionan un método para obtener aproximaciones de los números reales, sino que nos permiten estimar fácilmente el error cometido en cada paso.

Otro rasgo importante de las fracciones continuas es el que demostró de nuevo el señor Euler: toda solución de una ecuación cuardrática da una fracción continua simple y periódica. Lagrange probaría después el teorema recíproco, es decir, que todo fracción continua simple y periódica corresponde a una solución de una ecuación cuadrática. Es decir, que los números cuadráticos, siendo irracionales y teniendo por tanto fracciojnes continuas infinitas son, sin embargo,las más sencillas posibles.

A prácticar

Hemos visto métodos numéricos y algebriacos y hasta disponemos de una calculadora específica para calcular fracciones continuas. Ahora toca experimentar. Si encuentras algún jemnplo curioso, mándalo a Epsilones y lo mostramos por aquí.