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	Matemáticas II - Análisis
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Índice de temas de análisis 7. Límites y continuidad 8. Derivadas 9. Aplicaciones de la derivada 10. Integrales indefinidas 11. Integrales definidas	EJERCICIOS *** Listado de ejercicios tipo para los temas 7, 8 y 9
Tema 7 Límites y continuidad Limites Límite de una función en un punto Limites laterales. Límite infinito en un punto: asíntotas verticales. Límite de una función en el infinito. Límite finito. Límite infinito. Cálculo de límites. Límite de la suma, el producto y el cociente. Límite de la composición. Casos particulares: Potencias. Potencial-exponencial. Funciones racionales. Indeterminaciones: \(\infty-\infty\); \(0·\infty\); \(\dfrac{0}{0}\); \(\dfrac{\infty}{\infty}\); \(1^\infty\); \(\infty^0\); \(0^0\) Resolución de algunas indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) \(\dfrac{\infty}{\infty}\) \(\infty-\infty\) \(1^\infty\). Potenciales-exponenciales. Continuidad Continuidad de una función en un punto. Definición \(\epsilon-\delta\): \(\text{Sea }f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ y sea a }\in D \text{. Se dice que f es continua en x = a si }\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 / si\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon\) Propiedades: Continuidad de funciones obtenidas operando funciones continuas La suma, resta y el producto de funciones continuas es una función continua. El cociente de funciones contiuas es una función continua siempre que el demonimador no se anule. La composición de funciones continuas es una función continua en el dominio resultante. Tipos de discontinuidad. Continuidad de las funciones típicas. Polinómicas: siempre. Radicales: siempre el radicando sea mayor o igual que cero. Exponenciales: siempre. Logarítmicas: en su dominio. Trigonométricas: Seno y coseno: siempre. Tangente: en su dominio: es discontinua en \(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\). Función continua en un intervalo cerrado. Teoremas de continuidad De Bolzano. Existencia de solución de una ecuación, raíz de un polinomio o cero de una función. Ejemplo. Determinar se dos funciones se cortan. Ejemplo. Cálculo de una aproximación de la solución. Weierstrass Teorema de acotación. Deficición de máximos y mínimos relativos. Darboux o los valores intermedios. Determinar si una función toma un valor determinado. Ejemplo. Interpretación gráfica de los teoremas de continuidad. Continuidad de funciones definidas a trozos. Cálculo de parámetros. Para que exista el límite. Que resuelva la indeterminación. Para que una función sea continua.	Resumen cálculo de límites de funciones *** Ampliación: El número e Las definiciones del número e. Indeterminación \(1^\infty\). Cuatro límites \(1^\infty\). Los límites de las hojas de cálculo al calcular límites.
Tema 8 Derivadas Concepto de derivada La velocidad como tangente Definición de derivada en un punto Se llama derivada de f en x = a, si existe, al límite si \(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) Es equivalente: \(f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}\) Interpretación geómetrica: pendiente de la tangente. Casos de tangentes. Ecuaciones de la tangente y la normal. Derivadas laterales \(f'(a^+)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) \(f'(a^-)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) f es derivable en x = a si ambas derivadas laterales existen y son iguales. Derivabilidad y continuidad Teorema: si f es derivable en x = a entonces f es continua en x = a. Demostración. Por lo tanto si f no es continua en x = a entonces f no es derivable en x = a. Pero una función puede ser continua y no derivable. Ejemplos de derivabilidad de funciones a trozos Función derivada: se nota \(f': \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) y se define como \(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\). Derivadas sucesivas: \(f'; f''; f'''; f^{iv)}\) Esta notación se debe a Lagrange. Cálculo de derivadas: Derivadas de operaciones de funciones. Derivadas de funciones elementales Técnicas: Regla de la cadena: ejemplos. Derivación logarítmica: derivada de \(f(x)^{g(x)}\) Derivada de la función implícita. Derivada de la función inversa: ejemplo.	Leibniz Newton *** Notas históricas *** Tabla de derivadas
Tema 9 Aplicaciones de la derivada Monotonía Crecimiento y decrecimiento. Signo de la primera derivada. Cálculo de los intervalos de monotonía. Máximos y mínimos relativos. Definición. Derivada cero. Puntos singulares. Puntos críticos. Cálculo: Estudiando la monotonía. Signo de la derivada segunda Extremos absolutos. Curvatura ¿Qué es convexo y qué concavo? Concavidad y convexidad. Signo de la segunda derivada. Cálculo de los intervalos de curvatura. Puntos de inflexión. Definición. Segunda derivada cero. Cálculo. Estudiando la curvatura. Tercera derivada distinta de cero. Teoremas Teorema de Rolle: sea una función f(x) continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces existe c en (a, b) tal que f’(c) = 0. Interpretación gráfica. Demostración. Aplicación: unicidad de la solución. Ejemplo. Teorema del valor medio (o de Lagrange de los incrementos finitos): sea una función f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c en (a, b) tal que \[f’(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Interpretación gráfica. Demostración. Teorema del valor medio generalizado (o de Cauchy): sean f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe c en (a, b) tal que \[\dfrac{f’(c)}{g’(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]. Demostración. Regla de L’Hôpital: Ssean f(x) y g(x) dos funciones derivables en \((x_0-h, x_0+h)\) tales que los límites \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{f(x)} \text{ y } \displaystyle\lim_{x \to x_0}{g(x)}\text{ son ambos } 0\text{ o } \pm\infty \). Si existe \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}\) entonces \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}\) Nota: \(x_o\text { puede ser un número o } \pm \infty\) Resolución de indeterminaciones aplicando la regla de L’Hôpital. \(\dfrac{0}{0}; \dfrac{\infty}{\infty}\): aplicación directa. \(0·\infty: f·g=\dfrac{f}{\frac{1}{g}}\) \(\infty-\infty\): se calcula la diferencia (si se puede). \(1^\infty;\infty^0,0^0\): se toman logaritmos. Representación de funciones Estudio de una función Dominio y recorrido. Definición. Cálculo de dominios: Funciones irracionales. Funciones racionales. Funciones a trozos. Puntos de cortes con los ejes. Signo de una función. Simetría par. Simetría impar. Periodicidad. Ramas infinitas y asíntotas. Ramas infinitas. Asíntotas verticales. Cálculo. La gráfica de una función no puede cortar a las asíntotas verticales. Asíntotas horizontales. Cálculo. Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales. Una recta puede ser asíntota horizontal por un lado pero no por el otro La gráfica de una función puede cortar a las asíntotas horizontales. Asíntotas verticales. Cálculo. Por cada lado, las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes. Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas. Una recta puede ser asíntota oblicua por un lado pero no por el otro La gráfica de una función puede cortar a las asíntotas oblicuas. Ramas parabólicas. Son las ramas infinitas que no son asíntotas y que en el infinito tienden a \(\pm \infty\). Información de la derivada. Monotonía. Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos: Máximos y mínimos. Curvatura. Concavidad y convexidad. Punto de inflexión. Funciones elementales Polinomios Funciones racionales Funciones irracionales Exponenciales y logaritmos Funciones con valor absoluto Funciones definidas a trozos. Funciones definidas a trozos con valor absoluto. Funciones trigonométricas Seno y coseno Tangente Gráficas de funciones inversas Ejercicio de reconocimiento de gráficas y fórmulas Ejemplo representación de funciones Optimización de funciones. Maravilloso guion para optimizar funciones con ejemplo incluido. Estudio de los extremos de los intervalos. Cálculos Determinación de una función conocidos sus extremos relativos y un punto. Obtención de un parámetro para que una función sea convexa. Representar la función derivada a partir de la gráfica de la función (monotonía y curvatura). Demostración de que dos funciones solo se cortan en un punto. Demostraciòn de las unicidad de solución. Obtención de parámetros para que se pueda aplicar un teorema. Obtención de un parámetro para que un límite tenga un valor determinado.	Derivada, monotonía y curvatura
Tema 10 Integrales indefinidas Función primitiva. Definición: F(c) es primitiva de f(x) si \(F’(x)=f(x)\). Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Integral (indefinida) de una función. Es el conjunto de sus primitivas. Constante de integración. La integración es el proceso inverso a la derivación: para comprobar una integral, se deriva. Propiedades de la integral: \(\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx =\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\) \(\displaystyle \int kf(x) \,dx =k\int f(x)\,dx\) Integración de funciones elementales (Integrales inmediatas). Función constante Funciones potenciales. Ajuste del factor numérico. Tipo logarítmico. Se toman valores absolutos. Funciones exponenciales. Funciones trigonométricas. Funciones tipo arco. Métodos de integración. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Cinco ejemplos resueltos. Integración por cambio de variable. Productos de potencias de funciones trigonométricas. Cinco integrales importantes por partes y cambio de variable. Cálculos Calcular una función conocidas su derivada y uno de sus puntos. Calcular una primitiva con una condición. Calcular la integral del logaritmo por partes.	Posición, velocidad, aceleración y la integral
Tema 11 Integrales definidas Área bajo una curva. Partición de un intervalo. Partición más fina. Sumas inferiores y superiores. Límite de las sumas inferiores y superiores. Integral definida. Intervalo de integración. Límites de integración. \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n \to \infty}{s_n}=\lim_{n \to \infty}{S_n}\) Propiedades de la integral definida. \(\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0\) \(f(x) \ge 0 \Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge 0\) \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx =\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx \) \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx =-\int_{b}^{a} f(x)\,dx\) \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]\,dx =\int_{a}^{b} f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\,dx\) \(\displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) \,dx =k\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) Si \(\forall x \in [a,b]\ f(x) \le g(x) \Rightarrow \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \int_{a}^{b} g(x)\,dx\) Teoremas Función integral. Teorema del valor medio para la integral. Teorema fundamental del cálculo (relación entre derivación e integración) Derivada de funciones integrales. Ejemplo. Regla de Barrow (relación entre la integral definida y la indefinida). Cálculos Integral definida por cambio de variable. Cálculo del área encerrada por una curva. Cálculo del área comprendida por dos curvas. Integrales definidas de funciones con valor absoluto. Cálculo del área limitada por una función definida a trozos. Cálculo de áreas con intervalos de integración infinitos.	Esquema * Calculadora de integrales definidas